Teladan Soal Turunan Trigonometri Dan Pembahasannya turunan fungsi aljabar, maka dalam kesempatan ini dilanjutkan dengan turunan trigonometri. Rumus Turunan Dasar Trigonometri Berikut ini yaitu beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib dimengerti sebelum anda memecahkan dilema turunan trigonometri: 1. f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x 2. f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x 3. f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x 4. f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x 5. f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x 6. f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x Perluasan Rumus Turunan Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u' yakni turunan u terhadap x, maka : 1. f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’ 2. f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’ 3. f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’ 4. f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’ 5. f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’ 6. f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’ Perluasan Rumus Turunan Trigonometri II Berikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 : 1. f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b) 2. f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b) 3. f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b) 4. f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b) 5. f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b) 6. f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b) Contoh Soal Turunan Trigonometri Soal No.1 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = 4 sin x b. f(x) = 3 cos x c. f(x) = -2 cos x d. f(x) = 2 sec x e. f(x) = 2 csc x Pembahasan a. f(x) = 4 sin x → f'(x) = 4 cos x b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x Soal No.2 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = sin 6x + cos 6x b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x c. f(x) = tan 5x + sec 2x Pembahasan a. f(x) = sin 6x + cos 6x → f'(x) = 6 cos 6x – 6 sin 6x b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x → f'(x) = 12x3 + 2 cos 2x – 3 sin 3x c. f(x) = tan 5x + sec 2x → f'(x) = 5 sec2 5x + sec 2x . tan 2x Soal No.3 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = sin 3x b. f(x) = sin x2 c. f(x) = sin 3x2 d. f(x) = sin (2x + 1) Pembahasan a. f(x) = sin 3x Misalkan: u = 3x ⇒ u’ = 3 f(x) = sin 3x f'(x) = cos u . u’ f'(x) = cos 3x . 3 f'(x) = 3 cos 3x b. f(x) = sin x2 Misalkan: u = x2 ⇒ u’ = 2x f(x) = sin x2 f'(x) = cos u . u’ f'(x) = cos x2 . 2x f'(x) = 2x cos x2 c. f(x) = sin 3x2 Misalkan: u = 3x2 ⇒ u’ = 6x f(x) = sin 3x2 f'(x) = cos u . u’ f'(x) = cos 3x2 . 6x f'(x) = 6x cos 3x2 d. f(x) = sin (2x + 1) Misalkan: u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2 f(x) = sin (2x + 1) f'(x) = cos u . u’ f'(x) = cos (2x + 1) . 2 f'(x) = 2 cos (2x + 1) Soal No.4 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = cos 3x b. f(x) = cos x2 c. f(x) = cos 3x2 d. f(x) = cos (2x + 1) Pembahasan a. f(x) = cos 3x Misalkan: u = 3x ⇒ u’ = 3 f(x) = cos 3x f'(x) = -sin u . u’ f'(x) = -sin 3x . 3 f'(x) = -3 sinx 3x b. f(x) = cos x2 Misalkan: u = x2 ⇒ u’ = 2x f(x) = cos x2 f'(x) = -sin u . u’ f'(x) = -sin x2 . 2x f'(x) = -2x sin x2 c. f(x) = cos 3x2 Misalkan: u = 3x2 ⇒ u’ = 6x f(x) = cos 3x2 f'(x) = -sin u . u’ f'(x) = -sin 3x2 . 6x f'(x) = -6x sin 3x2 d. f(x) = cos (2x + 1) Misalkan: u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2 f(x) = cos (2x + 1) f'(x) = -sin u . u’ f'(x) = -sin (2x + 1) . 2 f'(x) = -2 sin (2x + 1) Soal No.5 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = sin (x2 + 3x + 1) b. f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1) Pembahasan a. f(x) = sin (x2 + 3x + 1) Misalkan: u = x2 + 3x + 1 ⇒ u’ = 2x + 3 f(x) = sin (x2 + 3x + 1) f'(x) = cos u . u’ f'(x) = cos (x2 + 3x + 1) . (2x + 3) f'(x) = (2x + 3) cos (x2 + 3x + 1) b. f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1) Misalkan : u = x3 + 3x2 + 1 ⇒ u’ = 3x2 + 6x f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1) f'(x) = -csc2 u . u’ f'(x) = -csc2 (x3 + 3x2 + 1) . (3x2 + 6x) f'(x) = -(3x2 + 6x) . csc2 (x3 + 3x2 + 1) Soal No.6 Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini : a. f(x) = sin x cos 3x b. f(x) = tan x cos 4x Pembahasan a. f(x) = sin x cos 3x Misal : u = sin x ⇒ u’ = cos x v = cos 3x ⇒ v’ = -3 sin 3x Turunan dari bentuk fungsi tersebut yaitu : f'(x) = u’ . v + u . v’ f'(x) = cos x . cos 3x + sin x . -3 sin 3x f'(x) = cos x . cos 3x − 3 sin x. sin 3x b. f(x) = tan x cos 4x Misal : u = tan x ⇒ u’ = sec2x v = cos 4x ⇒ v’ = -4 sin 4x Turunan dari bentuk fungsi tersebut adalah : f'(x) = u’ . v + u . v’ f'(x) = sec2x . cos 4x + tan x . -4 sin 4x f'(x) = sec2x . cos 4x – 4 tan x . sin 4x Soal No.7 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = 1 + cos x / sin x Pembahasan Misal : u = 1 + cos x ⇒ u’ = -sin x v = sin x ⇒ v’ = cos x Maka : y’ = u’ . v + u . v’ / v2 y’ = -sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x) / sin2 x y’ = -sin2 x − cos2 x − cos x / sin2 x y’ = -(sin2 x + cos2 x) − cos x / sin2 x y’ = -(1) – cos x / 1 – cos2 x y’ = -(1 + cos x) / (1 − cos x).(1 + cos x) y’ = -1 / 1 − cos x y’ = 1 / cos x – 1 Soal No.8 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = sin2 (2x + 3) Pembahasan Misalkan : g(x) = 2x + 3 ⇒ g'(x) = 2 Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat : y = c sinn g(x) y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x) Sehingga : y = sin2 (2x + 3) y = sin(2x + 3)2 y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x) y’ = 2 sin2-1 (2x + 3) . cos (2x + 3).(2) y’ = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) Soal No.9 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = cos2 (2x2 + 3) Pembahasan Misalkan : g(x) = (2x2) + 3 ⇒ g'(x) = 4x Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat : y = c cosn g(x) y’ = -c. n cosn-1 g(x) . sin g(x) . g'(x) Sehingga : y = cos2 (2x2 + 3) y = cos(2x2 + 3)2 y’ = -c. n cosn-1 g(x) . sin g(x) . g'(x) y’ = -2 cos2-1 (2x2 + 3) . sin (2x2 + 3) . 4x y’ = -8x cos (2x2 + 3) . sin (2x2 + 3) Soal No.10 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = (sin x + cos x)s Pembahasan : Misalkan : g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x – sin x y = (sin x + cos x)2 y’ = n [g(x)]n-1. g ‘(x) y’ = 2 (sin x + cos x)2-1.(cos x − sin x) y’ = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x) y’ = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x) y’ = 2 (cos2 x − sin2 x) y’ = 2 (cos2 x − (1 − cos2 x)) y’ = 2 (2cos2 x − 1) y’ = 4cos2 x − 2. Soal No.11 Carilah turunan dari y = x2 cos 2x ? Pembahasan Misal : u = x2 ⇒ u’= 2x v = cos 2x ⇒ v’= −2 sin 2x y’ = u’.v + u.v’ y’ = 2x . cos 2x + (x2) . (−2 sin 2x) y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x) Soal No.12 Carilah turunan dari Tentukan turunan y = sin6(x2 + 3x) ? Pembahasan Misalkan : g(x) = (x2 + 3x) ⇒ g'(x) = 2x + 3 Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat : y = c sinn g(x) y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x) y’ = 6 sin5 (x2 + 3x) . cos (x2 + 3x) . (2x + 3) y’ = 6(2x + 3) sin5 (x2 + 3x) . cos(x2 + 3x)
