Tutorial Mata Pelajaran kita kali ini ialah Matematika. Dalam edisi matematika kesempatan ini akan dibahas perihal aneka macam jenis soal yang bekerjasama dengan limit fungsi aljabar. Dalam materi ini kita akan belajar cara memilih nilai limit fungsi aljabar dalam berbagai acuan soal limit fungsi aljabar.
Dalam Matematika, Limit yakni nilai yang “didekati” suatu barisan atau fungsi ketika nilai input dari barisan atau fungsinya mendekati suatu nilai tertentu. Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai teladan, produksi maksimum dari mesin sebuah pabrik, dapat dibilang merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, namun mendekati sedekat dekatnya.
Contoh Soal Limit
Soal No.1
Carilah nilai limit berikut :
e.
lim x→2
2x2 + 4 2x + 2
Pembahasan
b.
lim 3x = 3.(3) = 9 x→3
c.
lim x→2
3x 2 = 3.(2) 2 = 3
d.
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32 x→3
e.
lim x→2
2x2 + 4 2x + 2 = 2.(22) + 4 2.(2) + 2 = 12 6 = 2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
Pembahasan
Jika hasil substitusi yakni 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak mampu dikerjakan dengan cara memasukkan nilai eksklusif, melainkan mesti difaktorkan terlebih dahulu
lim x→2
x2 – 4 x – 2 = 22 – 4 2 – 2 = 0 0 (bentuk tak tentu)
Kaprikornus hasil faktornya yaitu :
lim x→2
x2 – 4 x – 2 = (x-2)(x+2) (x-2) = (x+2)= (2+2) = 4
Soal No.3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim x→3
x2 – 9 √ x2 + 7 – 4
Pembahasan
Dengan substitusi eksklusif
lim x→3
(x2 – 9) √ x2 + 7 – 4 = (32 – 9) √ 32 + 7 – 4 = 0 0
Karena diperoleh bentuk tidak pasti, maka mesti digunakan cara lain yaitu memakai perkalian akar sekawan:
lim x→3
(x2 – 9) √ x2 + 7 – 4 x √x2 + 7 + 4 √ x2 + 7 + 4
⇔
lim x→3
(x2 – 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 + 7) – 16
⇔
lim x→3
(x2 – 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 – 9)
⇔
lim x→3
(√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim x→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4
Pembahasan
Jika disubstitusi eksklusif, maka akan ditemukan :
lim x→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4 = 22 – 5.(2) + 6 22 – 4 = 0 0 (bentuk tidak tentu)
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yakni : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
lim x→2
x2 – 5x + 6 x2 – 4 = 2x – 5 2x = 2.(2) – 5 2.(2) = – 1 4
Soal No.5
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x – 1 dan
g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x yakni satu.
⇔
lim x→∞
4x x – 1 x / 2x x + 1 x
⇔
lim x→∞
4 – 1 x / 2 + 1 x
=
4 – 1 ∞ / 2 + 1 ∞
=
4 – 0 / 2 – 0
= 2
Soal No.6
Tentukan nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yakni x
2 yang terdapat pada x
2 – 2. Sehingga :
⇔
lim x→∞
4x x2 + 1 x2 / x2 x2 – 2 x2
⇔
lim x→∞
4 x + 1 x2 / 1 – 2 x2
=
4 ∞ + 1 (∞)2 / 1 – 2 (∞)2
=
0 + 0 / 1 – 0
= 0
Soal No.7
Carilah nilai limit dari :
Pembahasan
Fungsi tersebut mempunyai x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
⇔
lim x→∞
2x2 x2 – 5 x2 / x2 x2 – 3 x2
⇔
lim x→∞
2 – 5 x2 / 1 – 3 x2
=
2 – 5 (∞)2 / 1 – 3 (∞)2
=
2 – 0 / 1 – 0
= 2
Soal No.8
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika hasil substitusi ialah 0/0 (bentuk tak pasti), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai pribadi, melainkan mesti difaktorkan apalagi dulu
lim x→a
x4 – a4 x – a =
a4 – a4 / a – a
=
0 / 0
(bentuk tak pasti)
Kaprikornus hasil faktornya yaitu :
⇔
lim x→a
(x2 – a2)(x2 + a2) x – a
Sederhanakan lagi untuk : (x2 – a2), sehingga menjadi :
⇔
lim x→a
(x – a)(x + a)(x2 + a2) (x – a) = (a + a)(a2 + a2) = 4a3
Soal No.9
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim x→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2
Pembahasan
Dengan substitusi langsung :
lim x→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2 =
√2 + 2 – √3(2) – 2
2 – 2 =
√4 – √4
0 = 0 0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka mesti dipakai cara lain yakni menggunakan perkalian akar sekawan:
lim x→2
√x + 2 – √3x – 2
x – 2 x
√x + 2 + √3x – 2
√x + 2 + √3x – 2
lim x→2
(x + 2)(3x -2) (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2)
lim x→2
-2x + 4 (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2)
lim x→2
-2(x – 2) (x – 2)(√x + 2 + √3x – 2) = -2 (√2 + 2 + √3(2) – 2) = -2 (√4 + √4) = -1 2
Soal No.10
Hitunglah limit dari :
lim x→2
2x2 + 3x – 2 x + 2
Pembahasan
lim x→2
2x2 + 3x – 2 x + 2 = 2(22) + 3(2) – 2 2 + 2
⇔ 8 + 6 – 2 4
⇔ 12 4
⇔ 3
Soal No.11
Carilah limit dari :
Pembahasan
Jika disubstitusi pribadi, maka akan ditemukan :
lim x→2
x3 – 8 x – 2 = 23 – 8 2 – 4 = 0 0 (bentuk tidak pasti)
Dengan demikian kita mesti memakai cara lain, adalah : dengan cara mengfaktorkan :
lim x→2
x3 – 8 x – 2 = (x2 + 2x + 4)(x – 2)( (x – 2) = (22 + 2(2) + 4) = 12
